مقدمه اصلی: تقسیم شهرها از جهت عرض جغرافیایی
شهرها بر روی کره زمین از جهت عرض جغرافیایی (فاصله از خط استوا) به چهار قسمت تقسیم میشود.
۱) شهرهایی که روی خط استوا قرار دارند که عرض جغرافیایی این دسته از شهرها صفر درجه هستند.
سوال: در چند روز از سال نقاط تلاقی دایره معدل النهار و دایره بروج خورشید روی این خطها اتفاق میافتد؟
پاسخ: دو روز. در دو روز که نقاط تلاقی دایره معدل النهار و دایره البروج خورشید است، در این دو روز آفتاب در موقع اذان ظهر، دقیقا عمود بر این شهرها است. چون آفتاب بر این شهرها بصورت عمود میتابد، شاخص در این لحظه سایه ندارد.
تمام این مقدمات بیان شد که ثابت شود در اول حَمَل و اول میزان، همه مکانهایی که روی خط استوا هستند، سایه ندارند.
مورد نخست را مرحوم شهید در کتاب متذکر نشده است.
۲) برخی از شهرها، عرض جغرافیایی آنها کمتر از درجه فاصله میل اعظم آفتاب است. میل اعظم شمالی، ۲۳ درجه و ۳۰ دقیقه و ۱۷ ثانیه است. شهرهایی که عرض جغرافیاییشان کمتر از این مقدار است[۱]، در سال دو روز شاخص هیچ سایه ندارد. (اما آن دو روز اول حمل و اول میزان نیست، زیرا این دو روز مربوط به شهرهایی میشود که روی خط استوا هستند.) دو روزی که در این شهرها، شاخص هیچ سایه ندارد عبارتند از زمانی که مدار آن شهر مورد نظر (مثلا مکه) با مدار خورشید در دایره البروج، یکی شود. اول حَمَل، دایره البروج روی مدار صفر درجه است اما هیمنجور که خورشید حمل را طی میکند و به آخر حمل میرسد، مثلا $\frac{۱}{۳} $ از ۲۳ درجه را طی کرده است. هنگامی که برج ثور را نیز طی کند، مقداری از ۲۳ درجه را طی میکند. نصف بیشتر جوزا را که طی کند به ۲۱/۵ درجه میرسد. هنگامی که خورشید به ۲۱/۵ درجه برسد، تمام شهرهایی که روی مدار ۲۱/۵ درجه هستند، خورشید بر آنها عمود میتابد و شاخص دیگر سایه ندارد.
یکبار خورشید هنگامی که به سمت شمال حرکت میکند به مدار ۲۱/۵ درجه میرسد و یکبار هم پس از آن که میل اعظم را تمام کرد هنگامی که میل جنوبی پیدا میکند و رو به پایین حرکت میکند، اگر ۲ درجه به طرف پایین حرکت کند، باز به مدار ۲۱/۵ درجه میرسد.
هر مکانی که در محدوده قبل از رسیدن به میل اعظم شمالی (۲۳/۵ درجه) باشد؛ دوبار این اتفاق در آن جا محقق میشود. یعنی دو روز در سال، شاخص سایه ندارد.
۳) برخی از شهرها، عرض جغرافیایی آنها عین عرض جغرافیایی میل اعظم شمالی است. یعنی شهرهایی مثل شهر مدینه، عرض جغرافیاییشان روی مدار میل اعظم شمالی یعنی ۲۳/۵ درجه است.
این دسته از شهرها که عرض جغرافیاییشان به اندازه درجه میل اعظم شمالی یا جنوبی است، در سال ۱ روز شاخصشان سایه ندارد. زیرا خورشید زمانی که به میل اعظم خودش رسید، عمود بر آن مدار میشود. پس از آن به سمت پایین حرکت میکند و بازگشتی ندارد که دو بار بر آن مدار عمود شود.
۴) شهرهایی که عرض جغرافیایی آنها بیش از میل اعظم است. یعنی بیش از ۲۳/۵ درجه است. مثل شهرهای ایران، عراق، سوریه، ترکیه، روسیه و.... در این شهرها هیچ گاه خورشید بر آنها عمود نمیشود. به عبارت دیگر، هیچ گاه نمیتوان در ایران روزی را پیدا کرد که شاخص، سایه نداشته باشد.
توضیح: عرض جغرافیایی تهران، ۳۵ درجه است. میل اعظم شمالی ۲۴ درجه است. فاصله میان آنها ۱۱ درجه است. زاویه خورشید در آن مداری که قرار دارد در میل اعظم شمالی یعنی رأس السرطان که اول تابستان است. مداری که خورشید در آن قرار دارد ۲۴ درجه است و مداری که تهران در آن قرار دارد ۳۵ درجه است. یعنی زاویه خورشید با آن شاخصی که در تهران نصب کردیم، ۱۱ درجه است. هنگامی که ۱۱ درجه است، هنگام ظهر یک سایهای دارد. اما اگر اول حَمَل باشیم که مدار خورشید صفر درجه است و تهران ۳۵ درجه است، زاویه خورشید با تهران در اول فروردین، ۳۵ درجه است. هنگامی که ۳۵ درجه زاویه دارد، کمترین سایه شاخص متفاوت است با سایهای که رأس السرطان دارد.